Wie Viel Ist Pi

Die Zahl π ist eine mathematische Konstante, welcher das verhältnis vom Umfangs zum Durchmesser einer Kreises beschreibt. Dieses verhältnis ist konstant und veränderung sich nicht mit ns Größe ns Kreises. Die Konstante ich werde manchmal als Pi geschrieben und verfügen über ungefähr ns Wert by 3,14159. In der drittbester wird sie allerdings aufgrund den griechischen buchstabe „π“ dargestellt, welcher schon seit Mitte von 18. Jahrhundert benutzt wird. π ist einer irrationale Zahl, sie kann deshalb nicht zusammen Quotient zweier ganzer zahlen dargestellt verstehen (auch wenn Brüche als 22/7 häufiger benutzt werden, um herum Pi näherungsweise anzugeben). Wie Folge ist die Dezimaldarstellung von π unendlich und wiederholt wir nie. Darüber hinaus ist π eine transzendente Zahl, also eine Zahl ns nicht zusammen Lösung einer Polynoms mit rationalen Koeffizienten auftreten kann.

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Kurze Geschichte

Seit Jahrtausenden bereits versuchen Mathematiker ns Verständnis der Zahl Pi zu erweitern. Oft geschah dies weil die berechnet weiterer Dezimalstellen. Bevor dem 15. Jahrhundert benutzten Mathematiker als Archimedes und das Chinese Lui Hui geometrische Methoden, ns Polynome benutzten, das Fläche durch bekannte Formeln berechnet werden konnte, um den wert von π näherungsweise zu berechnen. Ab von 15. Jahrhundert wurden Algorithmen, das unendliche Reihen benutzen, entdeckt, welche die Berechnung außerdem Nachkommastellen revolutionierte. Viele bekannte Mathematiker wie Isaac Newton, Leonhard Euler und Carl Friedrich Gauß setzten sie ein und verfeinerten sie weiter.

Seit zum 20. Jahrhundert setzen Mathematiker Supercomputer ein, um weitere Stellen über Pi zu berechnen. Heute (Stand 2012) sind bereits über 10 milliarde (1013) Nachkommastellen bekannt. Ende wissenschaftlicher anblick werden allerdings gerade genug mehr zusammen die ersten 40 Nachkommastellen weil das genaue Berechnungen verwendet. Die Berechnung by weiteren Nachkommastellen dient in der drittbester der einstellung neuer Weltrekorde oder zum Testen nachrichten Hardware heu Software. 

Eigenschaften

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Zwei ns wichtigsten Eigenschaften von Pi sind, ns die Zahl wie irrational zusammen auch transzendent ist. Ns Tatsache, das Pi einer transzendente zahl ist, hat zwei außerdem wichtige Konsequenzen:

Zum etc kann keine transzendente Zahl durch einen Zirkel und einen Lineal konstruiert werden. Hierbei ist ns Begriff ns Konstruierbarkeit einen mathematischer. Ein indikation oder einer Zahl gelten zusammen konstruierbar, wenn sie allein mit ein Zirkel und einer Lineal konstruiert verstehen können. Zu kann auch die alt Frage nach der Quadratur des Kreises beantwortet werden: das ist no möglich,nur mit ein Zirkel und ns Lineal ein Quadrat kommen sie Zeichnen, das dieselbe Fläche als ein gegebener bereich besitzt.

Die Quadratur eines Kreises zu sein eines ns großen Aufgabenstellungen das Antike gewesen. Noch heute bemühungen Hobbymathematiker dieses Problem kommen sie lösen, sogar wenn es unmöglich ist.

Die Nachkommastellen über Pi haben nein nachgewiesenes Muster. Das ende statistischer anblick treten die daten zufällig oben und sind sogar Normal. (Eine unendlich lang Zahl ernannt man zusammen normal, wenn alle möglichen Kombinationen aus antragszahlen jeder beliebigen Länge das gleiche häufig auftreten.) es wurde allerdings noch no mathematisch bewiesen, dass Pi normal ist, sogar wenn alle statistischen zahlen daraufhin deuten.

Kettenbrüche

Wie jede irrationale Zahl, kann auch Pi nicht als normaler Bruch dargestellt werden. Aber jede irrationale Zahl, darunter auch Pi, kann wie Reihe unendlich vieler ineinander verschachtelter Brüche, sogenannt Kettenbrüche, dargestellt werden:

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Würde man den Kettenbruch an irgendeiner stelle abbrechen, deshalb würde man ns Bruch erhalten, das Pi näherungsweise wiedergibt. Historisch gesehen wurden das Brüche 22/7 und 355/113 regelmäßig benutzt, um herum dies zu tun. Jede näherungsweise Berechnung, die in diese nett und Weise sicherlich wird, ist ns bestmögliche reason Approximation. Ns heißt, dass die deswegen gewonnene Schätzung ns Werts näher an Pi ist zusammen jeder andere Bruch mit zum selben oder einer kleineren Nenner. Sogar wenn der Kettenbruch von Pi (siehe oben) nein feststellbaren Muster folgt, deswegen haben Mathematiker Kettenbrüche entdeckt, die dies tun:

 

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Vielecke zur näherungsweisen Berechnung von Pi

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Der erst schriftlich dokumentierte Algorithmus zur näherungsweisen Berechnung über Pi stammt über dem griechischen Mathematiker Archimedes. Etwa 250 v. Chr. Gebraucht Archimedes Polygone (Vielecke), das Berechnungsformeln bereits jeder weiß waren. Dieser Algorithmus wurde noch von ist anders Mathematikern für die nächsten 1.000 jahre verwendet, ca Pi mit immer größer Präzision kommen sie bestimmen.

(Eine interagieren Animation von näherungsweisen errechnet mit Pi mit der ausweg von Archimedes, finden sich hier.)Archimedes berechnete Pi näherungsweise indem er zwei Sechsecke verwendete. Das eine Sechseck wurde deswegen gewählt, dass es genau außerhalb eines kreises passt und den kreis einschloss. Das unterschiedlich wurde innerhalb ns Kreises dafür platziert, das es nicht älter war, zusammen der Kreis, ns es einschloss. Das verdoppelte die zahlen der Seiten so lange, bis beide Polygone 96 seiten hatten. So konnte Archimedes einer Ober- und Untergrenze für Pi mit ein recht eindrucksvollen Genauigkeit für das damalige zeit berechnen. Indem er das Umfang beider Polygone ermittelte, konnte er beweisen, dass der wahr Wert by Pi mitte 223/71 22/7 (3,1408 n. Chr.),

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(etwa 100 n. Chr.) und 142/45 ≈ 3,1556 (3. Jahrhundert n. Chr.) für Pi verwendet. Ca 265 n. Chr. Ich habe es geöffnet der chinesische leute Mathematiker Liu Hui ein neuen Algorithmus das mit ein 3.072-seitigen Polygon arbeitete, ca den Wert von Pi in 3,1416 zu schätzen. Das war ns genauste näherungsweise Berechnung by Pi zur damaligen Zeit. Gleich später verfeinerte Liu seine Methoden und ermittelte einen Wert by 3,14 weil das Pi. Er benutzte dazu, wie Archimedes, einer 96-seitiges Polygon, machte sich noch die wahrheit zunutze, das die Differenz zwischen ns Fläche aufeinanderfolgender Polygone eine geometrische reihe mit einem Faktor von 4 bildet.

Knapp 100 jahre später, ca 480 n. Chr., gebraucht der chinesische Mathematiker kommen sie Chongzhi das Algorithmus über Liu – allerdings diesmal mit ein 12.288-seitigen Polygon – und berechnete ns Wert von Pi auf 355/113 (dieser Bruch ist in China auch wie Milü bekannt). Zu Chongzhi hatte zum die erste sieben Nachkommastellen von Pi wie Erster richtig berechnet. Dieser Wert ich muss für die nächsten 800 Jahre das genauste Berechnung by Pi bleiben.

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Der indische Astronom Aryabhata benutzte 499 n. Chr. Einen Wert von 3,1416 in seinen Schriften. Fibonacci gebraucht eine polynombasierte methode um Pi an 3,1418 zu schätzen. Der italienische schriftsteller Dante verwendet den Wert

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Berechnung von Pi durch unendliche Reihen

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Die Berechnung by Pi wurde aufgrund die evolution unendlicher Reihen in dem 16. Und 17. Jahrhundert revolutioniert. Sogar wenn unendliche Reihen weil das Pi hauptsächlich by europäischen Mathematikern als James Gregory und Gottfried williams Leibniz verwendet wurden, wurde der Ansatz inmitten 1400 und 1500 n. Chr. In Indien entwickelt. Die erste schriftliche rezept zur Berechnung über Pi aufgrund eine unendliche leitung ist in einem Sanskrit Vers von indischen Astronomen Nilakantha Somayaji vermerkt. In späteren Werken ausfahrt Nilakantha weitere Reihen kommen sie trigonometrischen Funktionen wie Sinus, Cosinus und Tangens und schreibt ns ursprünglich posting unendliche reihe zur Berechnung über Pi ns weiteren indischen Mathematiker, Madhava von Sangamagrama, zu. Also ist diese Reihe heute auch zusammen Madhava-Reihe hagen Leibniz-Reihe bekannt.

Die erst unendliche Sequenz zum Berechnung über Pi die bei Europa entdeckt wurde, geschrieben der französisch Mathematiker françois Viète an 1593:

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Die zweite Sequenz, die an Europa entdeckt wurde, beschrieb der britische Mathematiker Jahn Wallis in 1655. Sie ist heute zusammen wallissches Produkt bekannt:

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Die Entdeckung ns Analysis durch den englischen wissenschaftler Isaac Newton und das deutschen Mathematiker Gottfried williams Leibniz ca etwa 1660, führte zu der entdecken vieler außerdem unendlicher Reihen zum näherungsweisen Bestimmung von Pi. Newton selbst benutzte eine Reihe ns inversen Sinusfunktion, um 15 Nachkommastellen by Pi bei 1665 bzw. 1666 zu berechnen.

In europa wurde das Formel über Madhava über dem schottischen Mathematiker james Gregory 1671 und über Leibniz 1674 wiederentdeckt. Sie ist deshalb auch als Leibniz-Reihe (oder auch wie Gregory-Leibniz Reihe in dem englischsprachigen Raum) bekannt:

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1699 benutzte der englische Mathematiker Abraham Sharp diese Reihe, um Pi an 71 Nachkommastellen genau kommen sie berechnen und pleite damit den vorigen Rekord, der durch einen Polygonalgorithmus einstellen wurde.

1706 vereinfachte ns englische Professor weil das Astronomie, john Machin, ns Leibniz-Reihe:

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Machin könnten mit dies Formel 100 Nachkommastellen von Pi bestimmen. Andere Mathematiker benutzten Abwandlungen dieser Formel und stellten zu immer neue Rekorde auf. Auch im beginnenden Computerzeitalter zu sein Abwandlungen ns Formel by Machin noch benutzt. Noch 250 jahr nach seiner entdecken wurden dafür Rekorde aufgestellt, das 1946 ihren Höhepunkt in den Berechnungen von Daniel Ferguson erreichten, ns ohne hilfe eines Rechengerätes 620 Nachkommastellen berechnete.

Ein außergewöhnlicher Rekord wurde 1844 sogar so über dem hamburger Rechenküstler Johann martin Dase aufgestellt, der im abtretung von Carl Friedrich Gauß 200 Nachkommastellen by Pi berechnete. Sogar der britische Mathematiker williams Shanks stellte einer Rekord auf: er notwendig 15 Jahre ca 707 Nachkommastellen by Pi kommen sie berechnen, machte dennoch einen Rechnerfehler bei der 528. Stelle, was dazu führte, dass alle Nachfolgenden scham falsch waren.

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Verwendung

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Weil Pi eng verwandt mit dem bereich ist, findet es sich regelmäßig wieder an Formeln das Geometrie, Trigonometrie – bevor allem in Formeln, die mit Kreisen, Ellipsen und Kugeln kommen sie tun haben. In einigen wichtigen Formeln wieder Wissenschaften findet man häufig sogar Pi. Zu gehören Wissenschaften zusammen die Kosmologie, Thermodynamik, Statistik, Elektromagnetismus, Zahlentheorie und Mechanik.

Die einfachsten geometrischen Zusammenhänge mitte Pi und etc Größen lernen wir bereits in der Schule:

Der Umfang eines Kreises mit einem Radius r ist 2 · π · rDie Fläche einer Kreises mit einer Radius von r ist π · r²Das Volumen einer co mit einem Radius r ist 4/3 · π · r³Der Flächeninhalt einer wiese mit ns Radius by r zu sein 4 · π · r²